Sections 3-3 and 3-4
Probability
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
WARM-UP
Respondents in three cities were asked whether they would buy a new breakfast cerealthat was being tested. Use the responses from the contingency table below to answer thequestions.
Fort WorthDallasChicagoRow Totals
Yes (Y)100150150400
No (N)12513095350
Undecided (U)751705250
Column Totals3004502501000
A.What is the probability that the person responded yes?
B.What is the probability that the person is from Dallas?
C. What is the probability that the person responded yes, and is from Dallas?
D.What is the probability that the person responded yes or is from Dallas?
E.What is the probability the person responded yes, given that they are from Dallas?
F. What is the probability that the person is from Fort Worth, given that they respondedyes?
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
WARM-UP
Respondents in three cities were asked whether they would buy a new breakfast cerealthat was being tested. Use the responses from the contingency table below to answer thequestions.
Fort WorthDallasChicagoRow Totals
Yes (Y)100150150400
No (N)12513095350
Undecided (U)751705250
Column Totals3004502501000
A.What is the probability that the person responded yes?
The total in the Yes row is 400; the total number of respondents is 1000.
P(Y) = 400/1000 = .400
B.What is the probability that the person is from Dallas?
The total in the Dallas column is 450; the total number of respondents is 1000.
P(Dallas) = 450/1000 = .450
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
WARM-UP
Respondents in three cities were asked whether they would buy a new breakfast cerealthat was being tested. Use the responses from the contingency table below to answer thequestions.
Fort WorthDallasChicagoRow Totals
Yes (Y)100150150400
No (N)12513095350
Undecided (U)751705250
Column Totals3004502501000
C. What is the probability that the person responded yes, and is from Dallas?
The categories intersect. There were 150 people who both said yes and were fromDallas
P(Yes and Dallas) = 150/1000 = .150
D.What is the probability that the person responded yes or is from Dallas?
The events are not mutually exclusive.
P(Yes) + P(Dallas) – P(Yes and Dallas) = .4 + .45 - .15 = .7
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
WARM-UP
Respondents in three cities were asked whether they would buy a new breakfast cerealthat was being tested. Use the responses from the contingency table below to answer thequestions.
Fort WorthDallasChicagoRow Totals
Yes (Y)100150150400
No (N)12513095350
Undecided (U)751705250
Column Totals3004502501000
E.What is the probability the person responded yes, given that they are from Dallas?
Only refer to the Dallas column
P(Yes, given Dallas) = 150/450 = .3333
F. What is the probability that the person is from Fort Worth, given that they respondedyes?
Only refer to the Yes row.
P(Fort Worth, given yes) = 100/400 = .250
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
SECTION 3
A.The OR combination P(A or B)
1.The question concerns the probability of either or two (or more) events occurring.When we say “A or B”, we include the possibility of just A, just B, or both A and B.
2.Look for key words like OR, EITHER, or phrases like AT LEAST ONE.
3.To select the correct formula, we must first determine whether or not the events Aand B are mutually exclusive.
a)A and B are mutually exclusive if they cannot both occur within the sametrial or experiment.
1)If A occurs, then B cannot, and vice-versa.
2)In other words, the occurrence of A excludes the occurrence of B.
3)Example:Draw a card from a deck.
a.A = card is a ten
b.B = card is a king
1.Once we know that the card is a ten, it cannot be aking. The two are mutually exclusive.
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
SECTION 3
4)When the two events are mutually exclusive, use the simpleaddition rule:
a.P(A or B) = P(A) + P(B).
1.P(A) = 4/52, or 1/13.
2.P(B) = 4/52, or 1/13.
3.P(A or B) = 1/13 + 1/13 = 2/13.
b)A and B are not mutually exclusive if they can both occur within the sametrial or experiment.
1)Example:Draw a card from a deck
a.A = card is a ten
b.B = card is a diamond.
1.The card can be both a ten and a diamond; the twoevents do not exclude each other.
2)When the events are not mutually exclusive, use the followingaddition rule:
a.P(A or B) = (P(A)+P(B))-P(A and B).
1.Calculate P(A), and P(B). Add them together.
2.Calculate P(A and B).
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
SECTION 3
3.Subtract P(A and B) from the total you got in step 1.
a)This is to prevent counting an event twice.
1)If the card happened to be the ten ofdiamonds, it would be counted as both aten and as a diamond. Subtracting P(A andB) prevents this.
b.P(A) = 4/52 There are four cards in the deck that are tens
c.P(B) = 13/52 There are 13 cards in the deck that arediamonds.
d.P(A and B) = 1/52. There is only one card in the deck that isboth a ten and a diamond.
e.P(A or B) = (4/52 + 13/52) - 1/52  =  16/52.
1.There are 16 cards in the deck that are either a ten, or adiamond, or both. One card, the ten of diamonds, isboth and is counted twice. We subtract it once to keepthe count accurate.
f.When the two events are mutually exclusive, P(A and B) = 0.1.The two events cannot happen together.
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
Steps to solving problems
1.Determine what the events are.
2.Decide whether to use the “and” combination, the “or” combination, or thecomplement rule.
3.Before choosing the correct formula, ask one of the following questions:
a)For the AND combination: ARE THE EVENTS INDEPENDENT?
b)For the OR combination: ARE THE EVENTS MUTUALLY EXCLUSIVE?
4.After answering question #3, write down the appropriate formula.
5.Finally, answer the probability question.
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
Two marbles are drawn without replacement from a bowl containing 7 red, 4 blue, and 9yellow marbles.
A.What is the probability that both are red?
Events are:A = First is Red
B = Second is Red
This is an “AND” combination (the first is Red AND the second is Red)
To determine the correct formula, we need to know “are the events independent ordependent?”
The events are dependent since the first marble is not replaced before the secondmarble is drawn.
Using the formula P(A and B) = P(A) * P(B, given A), we get:
P(A) = 7/20
P(B, given A) = 6/19
(7/20)(6/19) = 42/380 = 21/190 = .1105.
There is an 11.05% chance of getting two red marbles.
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
Two marbles are drawn without replacement from a bowl containing 7 red, 4 blue, and 9yellow marbles.
B.What is the probability that NEITHER is red?
This is an AND combination as well (The first marble is not red, AND the secondmarble is not red)
The events are dependent, again because the first marble is not replaced beforedrawing the second
P(First not Red) = 13/20
P(Second not Red, given First not Red) = 12/19.
(13/20)(12/19) = 156/380 = 39/95 = .4105
C.What is the probability that at least one is red?
The complement to “at least one” is “neither”. We can use the complement rule andget:
P(at least one is red) = 1 – P(neither is red) = 1 – 39/95 = 56/95 = .5895
= 1 - .4105 = .5895
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
One card is drawn from a standard deck of 52 cards (no jokers)
A.What is the probability that it is a 4 or a 5?
The events are:A = card is a 4
B = card is a 5.
This is an OR combination: Either the card is a 4, OR it is a 5.
The events are mutually exclusive, since a card cannot be both a 4 and a 5 at thesame time.
Use the simple addition rule.
P(A or B) = P(A) + P(B)
P(4 or 5) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13 = .1538
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
One card is drawn from a standard deck of 52 cards (no jokers)
B.What is the probability that the card is neither a 4 nor a 5?
This is the complement to A. The card is NOT a “4 or 5”
1 – 2/13 = 11/13 = .8461
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
One card is drawn from a standard deck of 52 cards (no jokers)
C.Find the probability that it is either a 4 or it is red.
This is an OR combination.
Are the events mutually exclusive?
NO – a card can be both a 4 and red at the same time.
Use the addition rule to compute the probability
P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B)
P(A) = 4/52 and P(B) = 26/52 (There are 4 cards that are 4’s, and 26 red cards)
P( A and B) = 2/52 (two red 4’s)
P(4 or Red) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = .5385
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
Two dice are rolled and the sum of the dice is noted.
A.What is the probability that the sum is a 7 or 11?
This is an OR combination, and the events are mutually exclusive.
Use the simple addition rule: P(A or B) = P(A) + P(B)
P(7 or 11) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = .2222
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
Two dice are rolled and the sum of the dice is noted.
B. What is the probability that the sum is at least ten?
This is an OR combination. At least ten means 10 OR 11 OR 12. These are mutuallyexclusive.
P(at least 10) = P(10) + P(11) + P(12) = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36 = .1667
C.What is the probability that the sum is less than 10?
This is the complement to at least ten.
P(less than 10) = 1 – P(at least 10) = 1 – 6/36 = 30/36 = .8333
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
At Studymore University, 46% of the students are female and 13% of the females arepsychology majors. 9% of all the students are psychology majors. A student is picked atrandom.
A.Find the probability that the person is a female psychology major.
This is an AND combination (a female AND a psychology major)
Are the events independent?
No – the probability of a female majoring in psychology is different than theprobability of a student at large majoring in psychology (13% to 9%)
P(female and a psychology major) = P(female) * P(psychology major, givenfemale)
P(female and a psychology major) = .46 * .13 = .0598
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
At Studymore University, 46% of the students are female and 13% of the females arepsychology majors. 9% of all the students are psychology majors. A student is picked atrandom.
B.Find the probability that the student is a female or a psychology major
This is an OR combination
The events are not mutually exclusive: one can be both female and majoring inpsychology at the same time.
P(female or psychology major) = P(female) + P(psychology major) – P(female andpsychology major)
.46 + .09 - .0598 = .4902
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
EXAMPLES
ASSIGNMENTS:
Classwork: Page 165, #1-12 All
Homework:Pages 166-169, #14-26 Evens
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
SECTION 3-4
WARM-UP
The percent distribution of the number of occupants in vehicles crossing the TacomaNarrows Bridge in Washington is as follows:
One --55.5%
Two --29.8%
Three -7.6%
Four--4.7%
Five - 1.4%
Six or More --1.0%
Find each probability:
A)Randomly selecting a car with two occupants
B)Randomly selecting a car with two or more occupants
C)Randomly selecting a car with between two and five occupants, inclusive.
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
SECTION 3-4
WARM-UP
The percent distribution of the number of occupants in vehicles crossing the TacomaNarrows Bridge in Washington is as follows:
One --55.5%
Two --29.8%
Three -7.6%
Four--4.7%
Five - 1.4%
Six or More --1.0%
Find each probability:
A)Randomly selecting a car with two occupants
Look at the given information!!
29.8% of cars have 2 occupants, so we have a.298 probability of selecting a car with twooccupants.
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
SECTION 3-4
WARM-UP
The percent distribution of the number of occupants in vehicles crossing the TacomaNarrows Bridge in Washington is as follows:
One --55.5%
Two --29.8%
Three -7.6%
Four--4.7%
Five - 1.4%
Six or More --1.0%
Find each probability:
B)Randomly selecting a car with two or moreoccupants.
This is the COMPLEMENT of “One”
1 - .555 = .445
Could also add .298 + .076 + .047 + .014 + .01
PROBABILITY AND STATISTICS
CHAPTER 3 NOTES
SECTION 3-4
WARM-UP
The percent distribution of the number of occupants in vehicles crossing the TacomaNarrows Bridge in Washington is as follows:
One --55.5%
Two --29.8%
Three -7.6%
Four--4.7%
Five - 1.4%
Six or More --1.0%
Find each probability:
C)Randomly selecting a car with between two and fiveoccupants, inclusive.
ADD .298 + .076 + .047 + ..014 = .435
PROBABILITY AND STATISTICS CHAPTER 3 NOTES SECTION 3-4 A. Sometimes we want to determine how many ways we can choose and arrange not a whole set, but a specified number of members from that set. 1) The number of ways that r (being a whole number which is less than or equal to n) elements out of a set of n elements can be arranged is called a permutation of n objects using r. a) This is denoted as nPr where n gives the total number in the set and r gives how many you are using. 1. The formula for a permutation is: nPr = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! where 𝑟≤𝑛. a. The symbol ! stands for a factorial, and means that we will take that number times every number below it all the way to 1. 1) For example, 6! means 6*5*4*3*2*1. 2) To calculate a factorial on the TI-84, enter the number that you want the factorial of then press the MATH key. Arrow over to the PRB menu. The 4th item on that list is the ! symbol, so enter the number 4, and then press Enter. a) Find 7! – Enter 7, MATH, PRB, 4, Enter. The screen will tell you that the answer is 5040.
PROBABILITY AND STATISTICS CHAPTER 3 NOTES SECTION 3-4 A. Sometimes we want to determine how many ways we can choose and arrange not a whole set, but a specified number of members from that set. 1) The number of ways that r (being a whole number which is less than or equal to n) elements out of a set of n elements can be arranged is called a permutation of n objects using r. a) This is denoted as nPr where n gives the total number in the set and r gives how many you are using. 1. The formula for a permutation is: nPr = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! where 𝑟≤𝑛. 2. To calculate a permutation using the TI-84, enter the n value first, then press MATH and PRB. The permutation option is the second one on the menu, so press 2. Now enter the r value and then press Enter. a. Find 6P3 – Enter 6, MATH, PRB, 2, 3, Enter. The answer should be 120.
PROBABILITY AND STATISTICS CHAPTER 3 NOTES SECTION 3-4 2) A special type of permutation is called a distinguishable permutation. a) These occur when you want to order a group of objects in which some of the objects are the same. 1. For example, you want to order a group of letters that includes four A’s, two B’s, and one C. 2. The formula for distinguishable permutations is: nPr= 𝑛! 𝑛 1 !∗ 𝑛 2 ! 𝑛 3 !… 𝑛 𝑘 ! where n1 is of one type, n2 is of another, and so on. b) Let’s say a building contractor is planning to develop a subdivision. The subdivision is to consist of 6 one-story houses, 4 two-story houses, and 2 split-level houses. 1. In how many distinguishable ways can the houses be arranged? a. There are to be 12 houses in the subdivision, 6 of which are of one type (one-story), 4 of another type (two-story), and 2 of a third type (split-level). nPr= 12! 6!∗4!∗2! = 12∗11∗10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 6∗5∗4∗3∗2∗1 ∗ 4∗3∗2∗1 ∗(2∗1) =13,860 1) There are 13,860 distinguishable ways to arrange those 12 houses. c) As far as I know, the TI-84 does not calculate distinguishable permutations. You will have to set it up and use the factorial feature.
PROBABILITY AND STATISTICS CHAPTER 3 NOTES SECTION 3-4 B. There are also situations for which we wish to determine the number of ways an r- member subset can be formed from a set with n numbers. 1) In this situation, the order of selection doesn’t matter. a) Key words to look for: subset, committee, group. 2) This is called a combination of n elements using r and is denoted nCr. a) There are 10 people in a club. We wish to know how many ways we can select a committee (where order does not matter) consisting of 4 people. 1. The formula for a combination is: nCr = 𝑛! 𝑛−𝑟 !𝑟! where 𝑟≤𝑛. 2. n = 10, r = 4. a. 10C4 = 10!/4!(10-4)! = 10!/(4!6!) = 210. 3) To calculate a combination on the TI-84, enter the n value first, then press MATH and PRB. The combination option is the third one on the menu, so press 3. Now enter the r value and then press Enter. a) Find 6C3 – Enter 6, MATH, PRB, 3, 3, Enter. The answer should be 20.
PROBABILITY AND STATISTICS
SECTION 3-4 EXAMPLES
 
Calculate the number of ways each of the following can be done. Then answer thecorresponding probability question.
 
A.Your company routes all materials from NY to Chicago, then from Chicago to Denverand then from Denver to L.A. There are 4 routes from NY to Chicago, 6 routes fromChicago to Denver and 3 routes from Denver to L.A.
How many possible routes are there from NY to L.A.?
What is the probability that one specified route is taken?
 
Use the multiplication principle. Since there are 4 ways to perform the first action,and 6 ways to perform the second, and 3 ways to perform the third, there are(4)(6)(3) = 72 possible routes.
 
The probability that any one specified route is taken is 1/72 = .0139
PROBABILITY AND STATISTICS
SECTION 3-4 EXAMPLES
 
Calculate the number of ways each of the following can be done. Then answer thecorresponding probability question.
 
B.You are supervisor of nurses and have 12 nurses working for you.
In how many ways can you choose 4 to have the weekend off?
What is the probability that 4 specific individuals will have the weekend off?
 
In this problem, the order does not matter, so we will use a combination.
n = 12 and r = 4.
 
12C4 = 12!/4!(12-4)! = 12!/4!8! = 495
 
The probability that 4 specific individuals will all have the same weekend off is 1/495 =.0020
PROBABILITY AND STATISTICS
SECTION 3-4 EXAMPLES
 
Calculate the number of ways each of the following can be done. Then answer thecorresponding probability question.
 
C.You are still in charge of 12 nurses (congratulations!) and must assign one to be head ofthe first floor ward, one to be head of the second floor ward, one for the third floor,and one for the fourth.
In how many ways can this be done?
What is the probability that the assignments are made in one specified order?
 
This is a permutation, since it matters which floor they are on.
n= 12, r = 4
12P4 = 12!/(12-4)! = 12!/8! = 11,880
 
The probability that the assignments are made in one specified order is 1/11,880 =.00008.
PROBABILITY AND STATISTICS
SECTION 3-4 ASSIGNMENTS
 
Classwork:Page 178, #1-18 All
Homework:Pages 178-181, #19, 20, 22, 25-28