Vectors
Chapter 3
Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Scalars and vectors  :
A scalar:  is a quantity that has magnitude only. Mass, time, speed,distance, pressure, Temperature and volume are all examples of scalarquantities .
Note : Magnitude – A numerical value with units.
A vector : is a quantity that has a magnitude and a direction. Oneexample of a vector is velocity. The velocity of an object is determinedby the magnitude (speed) and direction of travel. Other examples ofvectors are force, displacement and acceleration .
Note : Vectors are typically illustrated by drawing an ARROW abovethe symbol. The arrow is used to convey direction and magnitude.
Scalars and vectors quantities:
Scalar Quantities and Vector Quantities
Scalar Quantities
Examples
Vector Quantities
Examples
Distance
Length without direction
Displacement
Length with direction
Speed
How Fast an object moveswithout direction
Velocity
How Fast an object moveswith direction
Mass
How much Stuff is IN anobject
60 N downward
Energy
Emits in All directions
Weight
Force due to gravity
500 N
Always downward
 
Temperature
Average Kinetic Energy ofan object
Friction
Resistance force due to theSurface conditions
15 N
Against thedirection of motion
Time
Acceleration
How Fast Velocity Changesover Time
Vectors and Their Components
The simplest example is a displacement vector
If a particle changes position from A to B, we representthis by a vector arrow pointing from A to B
Figure 3-1
In (a) we see that all three arrowshave the same magnitude anddirection: they are identicaldisplacement vectors.
In (b) we see that all three pathscorrespond to the same displacementvector. The vector tells us nothingabout the actual path that was takenbetween A and B.
Vectors and Their Components
The vector sum, or resultant
oIs the result of performing vector addition
oRepresents the net displacement of two or more displacementvectors
oCan be added graphically as shown:
Figure 3-2
Eq. (3-1)
Vectors and Their Components
Vector addition is commutative
oWe can add vectors in any order
Eq. (3-2)
Figure (3-3)
Vectors and Their Components
Vector addition is associative
oWe can group vector addition however we like
Eq. (3-3)
Figure (3-4)
Vectors and Their Components
A negative sign reverses vectordirection
We use this to define vectorsubtraction
Eq. (3-4)
Figure (3-5)
Figure (3-6)
Vectors and Their Components
These rules hold for all vectors, whether they representdisplacement, velocity, etc.
Only vectors of the same kind can be added
o(distance) + (distance) makes sense
o(distance) + (velocity) does not
Answer:
(a) 3 m + 4 m = 7 m     (b) 4 m - 3 m = 1 m
Vectors and Their Components
Rather than using a graphical method, vectors can be addedby components
oA component is the projection of a vector on an axis
The process of finding components is called resolving thevector
Figure (3-8)
The components of a vector canbe positive or negative.
They are unchanged if thevector is shifted in anydirection (but not rotated).
Vectors and Their Components
Components in two dimensions can be found by:
Where θ is the angle the vector makes with the positive xaxis, and a is the vector length
The length and angle can also be found if the componentsare known
Therefore, components fully define a vector
Eq. (3-5)
Eq. (3-6)
Vectors and Their Components
In the three dimensional case we need more components tospecify a vector
o(a,θ,φ) or (ax,ay,az)
Answer:    choices (c), (d), and (f) show the components properly arranged toform the vector
Vectors and Their Components
Angles may be measured in degrees or radians
Recall that a full circle is 360˚, or 2π rad
Know the three basic trigonometric functions
Figure (3-11)
Unit Vectors, Adding Vectors by Components
A unit vector
oHas magnitude 1
oHas a particular direction
oLacks both dimension and unit
oIs labeled with a hat: ^
We use a right-handed coordinate system
oRemains right-handed when rotated
Figure (3-13)
Eq. (3-7)
Eq. (3-8)
Unit Vectors, Adding Vectors by Components
The quantities axi and ayj are vector components
The quantities ax and ay alone are scalar components
oOr just “components” as before
Eq. (3-7)
Eq. (3-8)
Vectors can be added  using components
Eq. (3-10)
Eq. (3-11)
Eq. (3-12)
Eq. (3-9)
→
Unit Vectors, Adding Vectors by Components
To subtract two vectors, we subtract components
Unit Vectors, Adding Vectors by Components
Answer: (a) positive, positive    (b) positive, negative
              (c) positive, positive
Eq. (3-13)
Unit Vectors, Adding Vectors by Components
Vectors are independent of the coordinate systemused to measure them
We can rotate the coordinate system, withoutrotating the vector, and the vector remains the same
All such coordinate systems are equallyvalid
Figure (3-15)
Eq. (3-15)
Eq. (3-14)
Example 1: Two vectors are given by 𝐴 =3 𝑖 −2 𝑗 𝑎𝑛𝑑 𝐵 =− 𝑖 −4 𝑗 . Calculate :   𝐴 + 𝐵 = 3 𝑖 −2 𝑗 + − 𝑖 −4 𝑗 = 2 𝑖 −6 𝑗 𝐴 − 𝐵 = 3 𝑖 −2 𝑗 − − 𝑖 −4 𝑗 = 4 𝑖 +2 𝑗 The magnitude of 𝐴 + 𝐵 = 2 2 +( −6 2 ) =6.32 The magnitude of 𝐴 − 𝐵 = 4 2 +( 2 2 ) =4.47 The direction of 𝐴 + 𝐵 𝑎𝑛𝑑 𝐴 − 𝐵 Solution : 𝐹𝑜𝑟 𝐴 + 𝐵 , 𝜃= tan −1 𝑦 𝑥 = −6 2 =− 71.6 ° 𝐹𝑜𝑟 𝐴 − 𝐵 , 𝜃= tan −1 𝑦 𝑥 = 2 4 = 26.6 °
Example 2: if 𝐴 =4𝐼+6𝐽+2𝐾 , 𝐵 =3𝐼+3𝐽−2𝐾 , 𝐶 =𝐼−4𝐽+2𝐾 Find 𝑅 (H.W.) .
Example 3: if 𝐴 =5 𝑖 +3 𝑗 −6 𝑘 𝐵 =8 𝑖 + 𝑗 −4 𝑘 , Find 𝐴 + 𝐵 =13 𝑖 +4 𝑗 −10 𝑘 𝐴 − 𝐵 =−3 𝑖 +2 𝑗 −2 𝑘 𝐶 where 𝐶 =2𝐴−3 𝐵 =−14 𝑖 +3 𝑗 The Magnitude and direction for 𝐶 . The magnitude of 𝐶 is : 𝐶 = ( 𝐶 𝑥 ) 2 +( 𝐶 𝑦 ) 2 +( 𝐶 𝑧 ) 2 = ( −14) 2 +( 3) 2 +( 0) 2 = 205 =14.32 The angle (direction) that 𝐶 makes with the x-axis is : 𝜃= tan −1 𝐶 𝑦 𝐶 𝑥 = tan −1 3 −14 = 𝐻.𝑊. °
Example 4: Find 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 for the given vectors : 𝐴 =3 𝑖 −4 𝑗 +4 𝑘 , 𝐵 =2 𝑖 +3 𝑗 −7 𝑘 𝑎𝑛𝑑 𝐶 =−4 𝑖 +2 𝑗 +5 𝑘 Solution : 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 = 3 𝑖 −4 𝑗 +4 𝑘 + 2 𝑖 +3 𝑗 −7 𝑘 − −4 𝑖 +2 𝑗 +5 𝑘 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 =9 𝑖 −3 𝑗 −8 𝑘
Example 5 (H.W.) : if 𝐴 =3𝐼−4𝐽 , 𝐵 =−2𝐼+3𝐽 find the angle between 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵 4 𝐴 6 𝐵 𝐴 + 𝐵 𝐴 − 𝐵 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡 (magnitude)𝐴 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡 magnitude 𝐵
Multiplying Vectors
Multiplying a vector z by a scalar c
oResults in a new vector
oIts magnitude is the magnitude of vector z times |c|
oIts direction is the same as vector z, or opposite if c is negative
oTo achieve this, we can simply multiply each of the componentsof vector z by c
To divide a vector by a scalar we multiply by 1/c
Example : Multiply vector z by 5
oz = -3 i + 5 j
o5 z = -15 i + 25 j
Multiplying Vectors
Multiplying two vectors: the scalar product
oAlso called the dot product
oResults in a scalar, where a and b are magnitudes and φ is theangle between the directions of the two vectors:
The commutative law applies, and we can do the dotproduct in component form
Eq. (3-20)
Eq. (3-22)
Eq. (3-23)
Multiplying Vectors
A dot product is: the product of the magnitude of one vectortimes the scalar component of the other vector in thedirection of the first vector
Eq. (3-21)
Figure (3-18)
Either projection of onevector onto the other can beused
To multiply a vector by theprojection, multiply themagnitudes
Multiplying Vectors
Answer: (a) 90 degrees    (b) 0 degrees    (c) 180 degrees
Example : two vectors are defined as : 𝐴 =3 𝑖 −4 𝑗 +4 𝑘 𝑎𝑛𝑑 𝐵 =2 𝑖 +3 𝑗 −7 𝑘 Find the following : 𝐴 . 𝐵 The angle 𝜃 between 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵 . Solution : 𝐴 . 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵 𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵 𝑧 = 3 𝑖 −4 𝑗 +4 𝑘 . 2 𝑖 +3 𝑗 −7 𝑘 =−34 𝛉= 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝐀 . 𝐁 𝐀 . 𝐁 A = ( A x ) 2 +( A y ) 2 +( A z ) 2 = ( 3) 2 +( −4) 2 +( 4) 2 =6.4 B = ( B x ) 2 +( B y ) 2 +( B z ) 2 = ( 2) 2 +( 3) 2 +( 7) 2 =7.9 So the angle between the vectors A and B is 𝛉= 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝐀 . 𝐁 𝐀 . 𝐁 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 −𝟑𝟒 𝟔.𝟒×𝟕.𝟗 = 𝟏𝟑𝟐 °
Dot product
Multiplying Vectors (Vector product or cross product)
Multiplying two vectors: the vector product
oThe cross product of two vectors with magnitudes a & b,separated by angle φ, produces a vector with magnitude:
oAnd a direction perpendicular to both original vectors
Direction is determined by the right-hand rule
Place vectors tail-to-tail, sweep fingers from the first to thesecond, and thumb points in the direction of the resultantvector
Eq. (3-24)
Cross product of Unit Vectors : 𝑖 . 𝑖 = 𝑗 . 𝑗 = 𝑘 . 𝑘 =0   𝒊 . 𝒋 = 𝒌 𝒋 . 𝒌 = 𝒊 𝒌 . 𝒊 = 𝒋 𝒋 . 𝒊 =− 𝒌 𝒌 . 𝒋 =− 𝒊 𝒊 . 𝒌 =− 𝒋       𝑨 × 𝑩 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑨 𝒙 𝑨 𝒚 𝑨 𝒛 𝑩 𝒙 𝑩 𝒚 𝑩 𝒛 = 𝑨 𝒚 𝑨 𝒛 𝑩 𝒚 𝑩 𝒛 𝑖 − 𝑨 𝒙 𝑨 𝒛 𝑩 𝒙 𝑩 𝒛 𝑗 + 𝑨 𝒙 𝑨 𝒚 𝑩 𝒙 𝑩 𝒚 𝑘
Multiplying Vectors
The upper shows vector a cross vector b, the lower shows vector b cross vector a
Figure (3-19)
Multiplying Vectors
The cross product is not commutative
To evaluate, we distribute over components:
Therefore, by expanding (3-26):
Eq. (3-25)
Eq. (3-26)
Eq. (3-27)
Multiplying Vectors
Answer: (a) 0 degrees    (b) 90 degrees
Example : three vectors are defined as : 𝐴 =3 𝑖 −4 𝑗 +4 𝑘 , 𝐵 =2 𝑖 +3 𝑗 −7 𝑘 𝑎𝑛𝑑 𝐶 =−4 𝑖 +2 𝑗 +5 𝑘 Determine : 𝐴 × 𝐵 𝐴 × 𝐵 . 𝐶 Solution : 𝐴 × 𝐵 A × B = i j k 3 −4 4 2 3 −7 =16 i +29 j +17 k   𝐴 × 𝐵 . 𝐶 = 16 i +29 j +17 k . −4 𝑖 +2 𝑗 +5 𝑘 =16 −4 +29 2 +17 5 =79
Scalars and Vectors
Scalars have magnitude only
Vectors have magnitude anddirection
Both have units!
Adding Geometrically
Obeys commutative andassociative laws
Unit Vector Notation
We can write vectors in terms ofunit vectors
Vector Components
Given by
Related back by
Eq. (3-2)
Eq. (3-5)
Eq. (3-7)
Summary
Eq. (3-3)
Eq. (3-6)
Adding by Components
Add component-by-component
Scalar Times a Vector
Product is a new vector
Magnitude is multiplied byscalar
Direction is same or opposite
Cross Product
Produces a new vector inperpendicular direction
Direction determined by right-hand rule
Scalar Product
Dot product
Eqs. (3-10) - (3-12)
Eq. (3-22)
Summary
Eq. (3-20)
Eq. (3-24)
Exercises (Homework) : Page 62-63
1 , 2 , 9 , 10 , 11 , 30 .