10.2Â Parabolas
Objective
•To determine the relationship betweenthe equation of a parabola and itsfocus, directrix, vertex, and axis ofsymmetry.
•To graph a parabola
Definition
•A set of points equidistant from afixed point (focus) and a fixed line(directrix).
•The midpoint between the focus and thedirectrix is called the vertex.
•The line passing through the focus and thevertex is called the axis of the parabola.
•A parabola is symmetric with respect to itsaxis.
•p is the distance from the vertex tothe focus and from the vertex tothe directrix.
Vertical
•General Form
If p > 0 opens up, if p < 0 opensdown
•Vertex:(h, k)
•Focus: (h, k + p)
•Directrix:y = k – p
•Axis of symmetry:x = h
•If the vertex is at the origin (0, 0), theequation is:
Horizontal parabola
General Form
If p > 0 opens right, if p < 0opens left
•Vertex:(h, k)
•Focus: (h + p, k)
•Directrix:x = h-p
•Axis of symmetry:y = k
Example 1
•Find the standard equation of the parabolawith vertex (3, 2) and focus (1, 2)
Example2Finding the Focus of a Parabola
•Find the focus of the parabola given by
Example 3Finding the Standard Equation of aParabola
•Find the standard form of the equation ofthe parabola with vertex (1, 3) and focus (1,5)
Example 4
•opens: p =
•vertex focus
•directrix axis of symmetry
Application
•A line segment that passesthrough the focus of aparabola and has endpointson the parabola is called afocal chord.  The focalchord perpendicular to theaxis of the parabola iscalled the latus retum.
•A line is tangent to a parabola at a point onthe parabola if the line intersects, but doesnot cross, the parabola at the point.
•Tangent lines to parabolas have specialproperties related to the use of parabolas inconstructing reflective surfaces.
Reflective Property of a Parabola
•The Tangent line to a parabola at a point Pmakes equal angles with the following twoline:
–The line passing through P and the focus
–The axis of the parabola.
Example 5Finding the Tangent Line at a pointon a Parabola
•Find the equation of the tangent line to theparabola given by
•At the point (1, 1)
