R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
1
Graph theory – תורת הגרפים 2.3 CAYLEY’S THEOREM– משפט קייליGraph theory – תורת הגרפים 2.3 CAYLEY’S THEOREM– משפט קיילי
מבוסס על הספר:
S. Even, "Graph Algorithms",
Computer Science Press, 1979
שקפים, ספר וחומר רלוונטי נוסף באתרהקורס:שקפים, ספר וחומר רלוונטי נוסף באתרהקורס:
Slides, book and other related material at:
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
2
2.3 CAYLEY’S THEOREM משפט קיילי2.3 CAYLEY’S THEOREM משפט קיילי
Theorem 2.4: The number of spanning treesfor n distinct vertices is nn-2.
Proof: )Prüfer( Assume V = {1, 2, ..., n}. Letus display a one-to-one correspondencebetween the set of the spanning trees andthe nn-2 words of length n – 2 over thealphabet {1, 2, ..., n}.
The algorithm for finding the word whichcorresponds to a given tree is as follows:
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
3
Theorem 2.4: The number of spanningtrees for n distinct vertices is nn-2.Theorem 2.4: The number of spanningtrees for n distinct vertices is nn-2.
V = {1, 2, ..., n} קלט: עץ עם צמתים:
{1, 2, ..., n} מעל א"ב n-2 פלט: מילה באורך
For i=1 to n-2 do
Among all leaves of the current tree
let j be the least one.
Eliminate j and its incident edge e from the tree.
The i-th letter of the word
is the other endpoint of e.
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
4
a[i] = ja[i] = j
j
עלה מינימלי
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
5
i = 1; j=3; min=1 a[1] = 3i = 1; j=3; min=1 a[1] = 3
3
עלה מינימלי
1
2
4
5
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
6
i = 2; j=2; min=3; a[2] = 2i = 2; j=2; min=3; a[2] = 2
3
עלה מינימלי
1
2
4
5
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
7
i = 3; j=2; min=4; a[3] = 2i = 3; j=2; min=4; a[3] = 2
3
עלה מינימלי
1
2
4
5
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
8
i = n-2 w="322" בסיום:i = n-2 w="322" בסיום:
3
1
2
4
5
R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141
9
Theorem 2.4: The number of spanningtrees for n distinct vertices is nn-2.Theorem 2.4: The number of spanningtrees for n distinct vertices is nn-2.
{1, 2, ..., n} מעל א"ב n-2 קלט: מילה באורך
V = {1, 2, ..., n} פלט: עץ עם צמתים:
For i=1 to n-2 do
Let j be the least vertex for which d(j) = 1.
Construct an edge j – ai,
d(j) 0 and d(ai) d(ai) – l.
Construct an edge between
the two vertices whose degree is 1