 Section 7-3 Hypothesis Testingfor the Mean (Small Samples)
Objective: SWBAT How to find  critical values ina t- distribution.
How to use the t-test to test a mean
How to use technology to find P- values and usethem with a t-test to test a mean Critical values in a t- distribution
In section 7.2 you learned how to perform ahypothesis test for a population mean whenthe sample size was 30 or more. In real lifehowever it is often impractical to collectsamples of size 30 or more. However if thepopulation has a normal or nearly normaldistribution you can still test the populationmean ц. To do so you use the t-samplingdistribution  with n-1 degrees of freedom.  Guidelines
Finding critical values in a t- distribution
1.Identify the level of significance α.
2.Identify the degrees of freedom d. f. = n-1
3.Find the critical values Using the t- table with n-1
Degrees of freedom. If the hypothesis test is
a.  Left tailed use One tail α column with a negative sign
b. right tailed use One tail α column with a positive sign
c. Two tailed use Two tails α column with a negative sign
and a positive sign. Example1
Finding critical values  for t
Find the critical value t for a left tailed testgiven α= .05 and n=21
Solution:
The degrees of freedom  are :
d. f. = n-1 = 21 – 1 =20 Find the critical value inthe  .05 column at the d.f = 20 the criticalvalue is negative.
So t  = - 1.725 Try it yourself
Find a critical value for a left tailed test with
α = .01 and  n = 14
a.Find the t- value in the t- table use d.f. = 13and α = .01  in the One tail   α  column.
b.  Use a negative sign. Example 2
Finding the critical values for t
Find the critical value t for a right tailed testwith α = .01  and n = 17
Solution : the degrees of freedom are:
d. f. = n -1 = 17 – 1 = 16
Use the t- table  we can use α = .01 and d. f. =16
So  to   = 2.583 ( the value is positive because itis for a right tailed test) Try it yourself
Find the critical value for a right tailed test  with
α = .05 and n =9
a.Find the t value in the t- table  using d.f  = 8,
And  in the One tailed column Example 3
Finding critical values for t
Find the critical values for to and – t  fro a twotailed test with α = .05 and  n = 26
Solution :the degrees of freedom are:
n-1 = 26 – 1  =  25
because this is a two tailed test  one value is
positive  and one is negative.
So t = 2..060   and - t = -2.060 Try it yourself
Find the critical values ± to   for a two tailed test
With α = .01 and n = 16
a.Find the t value in  the t- table using d .f. =15
and α = .01  in the two tail α  column. The t-test for a mean ц(n < 30,σ unknown)
t  =  (sample mean – Hypothesized mean)
Standard error
The degrees of freedom are
d.f.  = n - 1   Guidelines
Using the t test  for a mean ц (Small Sample)
1.Stat the claim mathematically identify            Ho and Ha
The null and alternative hypothesis
2.Idetify the level of significance                        Identify α
3.Identify the degrees of freedom and               d.f. =  n -  1
sketch the sampling distribution
4.Determine any  critical values              Use the t – table
5.   Determine any rejection regions
6.  Find the standardized test statistic.
7. Make a deciasion to reject or fail to     If t is in the rejection region
reject the null hypothesis.                          Reject  Ho  Otherwise fail to
reject   Ho.
8. Interpret the decision in the context of the
Original claim.  Remember that when you make a decision thepossibility of a type I  or a type II error exists.
We will later discuss how to use a P value  for at- test for a mean ц (small sample). Example 4
A used car dealer says that the mean price of a2002 Ford  F-150  Super Cab is at least\$18,800. You suspect that this claim isincorrect and find that a random sample of  14similar has a mean price of  \$18000 and astandard deviation of \$1250. Is there enoughevidence to reject the dealer’s claim at α = .05
Assume the population  is normally distributed. Solution: The claim is that the mean price is atleast \$18,800. So the null and alternativehypothesis are
Hoц  \$18800 and  H a < 18800
The test is a left tailed test the level ofsignificance is α = .05 and there are
d.f. = 14-1=13  degrees of freedom.  So thecritical value is t =-1.771 the rejection regionis  t < - 1.771
=                            ≈ -2.39   Interpretation
Because t is in the rejection region you decide toreject the null hypothesis.
There is enough evidence at the 5% level  ofsignificance to reject the claim that the meanprice of a 2002 For F-150 Super Cab is at least\$18800. Try it yourself
An industrial company claims that the pH levelof the water in the nearby river is 6.8. Yourandomly select 19 water samples andmeasure the pH of each. The sample meanand the standard deviation are 6.7 and .24respectively. Is there enough evidence toreject the company’s claim at α = .05?
Assume the population is normally distributed.   Find the critical value tfor a left-tailed test given  = 0.01 and n =18.
Find the critical values –t0  and t for a two-tailed test given
d.f. = 18 – 1 = 17
t0
t0 = –2.567
d.f. = 11 – 1 = 10
t0 = –2.228 and t= 2.228
The t Sampling Distribution
= 0.05 and n = 11. Area in
left tail t0
t0 A university says the mean number of classroom hours per week forfull-time faculty is 11.0. A random sample of the number ofclassroom hours for full-time faculty for one week is listed below.You work for a student organization and are asked to test this claim.At  = 0.01, do you have enough evidence to reject the university’sclaim?
11.8    8.6   12.6   7.9   6.4   10.4   13.6   9.1
1. Write the null and alternative hypothesis
2. State the level of significance
= 0.01
3. Determine the sampling distribution
Since the sample size is 8, the sampling distribution is at-distribution with 8 – 1 = 7 d.f.
Testing     –Small Sample      t =  –1.08 does not fall in the rejection region, so fail to reject Hat     = 0.01
n = 8     = 10.050  s = 2.485 7. Make your decision.
6. Find the test statistic and standardize it
8. Interpret your decision.
There is not enough evidence to reject the university’s claim that facultyspend a mean of 11 classroom hours.
5. Find the rejection region.
Since Ha contains the ≠ symbol, this is a two-tail test.
4. Find the critical values.
–3.499
3.499 t0
t0  T-Test of the Mean
Test of      = 11.000 vs      not = 11.000
Variable   N     Mean     StDev    SE Mean       T          P
Hours       8     0.050     2.485        0.879      –1.08     0.32
Enter the data in C1, ‘Hours’.
Choose t-test in the STAT menu.
Minitab reports the t-statistic and the P-value.
Since the P-value is greater than the level ofsignificance (0.32 > 0.01), fail to reject the nullhypothesis at the 0.01 level of significance.
Minitab Solution   Homework  1-25 odd. Pg. 370-371Day 2: 26-34 all pgs. 371-373 